部分集合
次に、部分集合について説明していきます。
集合$A$の要素すべてが集合$B$の要素であるとき、「集合$A$は集合$B$の部分集合である」といい、$A \subset B$、または$B \supset A$と書きます。
このとき、$A$は$B$に含まれるや、$B$は$A$を含むなどと言ったりもします。
また、記号が$\in$に似ていますので、使い間違えないようにしてください。
$A \subset B$と$B \subset A$の両方が成り立つとき、集合$A$と集合$B$は等しいといい、$A = B$と書きます。$A = B$のとき、$A$の要素と$B$の要素はすべて一致しています。
共通部分と和集合
$A$と$B$を集合とします。このとき、$A$と$B$の両方に含まれている要素全体の集合を$A$と$B$の共通部分といい、$A \cap B$と書きます。つまり、
$A \cap B =\{x | x \in A$ かつ$x \in B\}$
ですね。
また、$A$と$B$の少なくとも一方に属する要素全体の集合を$A$と$B$の和集合といい、 $A \cup B$と書きます。つまり、
$A \cup B =\{x | x \in A$または$x \in B\}$
です。
空集合
$A$を正の奇数全体の集合、$B$を正の偶数全体の集合としてみます。このとき、$A \cap B$はどのような集合でしょうか。$A$ にも$B$にも属するような要素は一つも存在しませんよね？
つまり、$A \cap B$は一つも要素を持たない集合ということになります。
このように、一つも要素を持たない集合を空集合といい、記号では$\emptyset$と書きます。
空集合は、全ての集合の部分集合と考えます。
補集合
集合を考えるときは、まず先にひとつ集合$U$を定め、その部分集合を考えていくことがほとんどです。
このときの集合$U$のことを全体集合といいます。全体集合の部分集合$A$に対して、$U$の要素の中で$A$には属さないモノ全体の集合のことを$A$の補集合と言い、$A$と書きます。
